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Invariantes de Ermakov-Lewis e Pacotes de Onda. A descoberta de invariantes exatos (constantes de movimento exatas ou integrais primeiras exatas) é de importância fundamental para um dado sistema físico (clássico ou quântico). Um número suficiente de invariantes exatos implica em um comportamento previsível da dinâmica do sistema físico em questão, sem ocorrência de caos. Os detalhes da determinação desses invariantes, bem como diversas aplicações dos mesmos, podem ser vistos, por exemplo, nos seguintes textos: Antônio Boulhosa Nassar, Ermakov and non-Ermakov Systems in Quantum Dissipative Models [Journal of Mathematical Physics 27, p. 755 (1986)]; Fernando Haas, Sistemas de Ermakov Generalizados, Simetrias e Invariantes Exatos [Tese de Doutoramento IFUFRS, (1998)]; Pedro Basílio Espinoza Padilla, Ermakov-Lewis Dynamic Invariants with Some Applications [MasterThesis, IF/Universidad de Guanajuato (2000)]; e Rachel M. Hawkins e James E. Lidsey, Ermakov-Pinney Equation in Scalar Field Cosmologies [Physical Review D66, p. 023523 (2002)]. Vejamos como encontrar os invariantes referidos acima. Em 1880 [Universita Izvestia Kiev 20 (9), p.1], o matemático ucraniano Vasilii Petrovich Ermakov (1845-1922) foi o primeiro a demonstrar que algumas equações diferenciais não lineares de segunda ordem são relacionadas, de maneira simples e definida, com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Essa demonstração ficou conhecida como o Método de Ermakov (ME), assim enunciado (Haas, op. cit.): Dadas a equação (linear)  e a equação (não linear)  , onde  é constante, a eliminação de  entre elas leva diretamente à integral primeira: .Mais tarde, em 1930 (Physical Review 35, p. 863), W. E. Milne desenvolveu um método análogo ao ME para resolver a equação de Schrödinger unidimensional levando em conta a estrutura oscilatória básica da função de onda de Schrödinger [  ]. Desse modo, encontrou que a equação diferencial não linear satisfeita pela amplitude de coincide com a equação obtida por Ermakov. Vinte anos depois, em 1950 (Proceedings of the American Mathematical Society 1, p. 681), E. Pinney apresentou a solução (sem demonstração, por ser, segundo ele, trival), da equação de Ermakov-Milne, depois conhecida como equação de Milne-Pinney, em termos das soluções linearmente independentes da equação linear associada a essa equação. Vejamos essa solução. Dada a equação:  , onde é constante, sua solução geral para a qual  e  , é dada por (Hawkins e Lidsey, op. cit.): onde  e  são soluções linearmente independentes da equação linear homogênea  , para a qual  ,  ;  ,  , as constantes A, B e C satisfazem a relação:  , e o Wronskiano  , devido ao teorema de Abel. É oportuno esclarecer que, para p(x) lentamente variável, a determinação de e pode ser realizada por intermédio do método WKB. [Jon Mathews and R. L. Walker, Mathematical Methods of Physics (W. A. Benjamin, Inc., 1965).]O sistema Ermakov-Milne-Pinney foi reencontrado, em 1967 (Physical Review Letters 18, p. 510), por H. R. Lewis, Jr. ao estudar o movimento de um sistema caracterizado pela Hamiltoniana  , onde q e p representam, respectivamente, a posição e o momento canonicamente conjugados,  é uma função arbitrária do tempo t, que representa a freqüência de um oscilador harmônico dependente do tempo (OHDT), e  é um parâmetro real e positivo. Essencialmente, Lewis demonstrou que existe uma quantidade (I) para esse OHDT, dada por:  , onde  e  satisfazem ao par de equações,  e - o par de equações de Ermakov-Milne -, que é invariante, ou seja:  . Registre-se que Lewis demonstrou essa invariância, tanto para o caso clássico, quanto para o caso quântico. Desse modo, o problema de encontrar os invariantes de sistemas físicos dependentes do tempo passou então a ser conhecido como o problema do invariante de Ermakov-Lewis (IE-L).Essa técnica de determinação do IE-L foi usada pelos físicos brasileiros José Maria Filardo Bassalo (n.1935), Paulo de Tarso Santos Alencar (n.1940), Mauro Sérgio Dorsa Cattani (n.1942) e Antônio Boulhosa Nassar (n.1953), em 2003 [Tópicos da Mecânica Quântica de Broglie-Bohm(EDUFPA)], e por Daniel Gemaque da Silva (n.1977), em 2007 (TCC, DF/UFPA), usando a Mecânica Quântica de de Broglie-Bohm (MQBB), cujos principais conceitos são a velocidade quântica e o potencial quântico de Bohm (ver verbete nesta série), para os diversos sistemas físicos sujeitos ao potencial do OHDT, representados por equações de Schrödinger, lineares e não lineares. Nesses textos, verificamos que alguns desses sistemas apresentam IE-L, e outros não. Ainda no livro referido acima foi usada a técnica do IE-L para estudar a evolução do pacote de onda quântico associado a um sistema físico. Assim, para o caso da partícula livre (PL), essa técnica permite demonstrar que: ,com , , e , onde  representa a evolução temporal do pacote de onda Debroglieano associado à PL e de largura inicial  , calculada com a MQBB. Registre-se que a evolução temporal do pacote de onda Schrödingeriano, calculada pela Mecânica Quântica Ondulatória de Schrödinger (MQOS) e encontrada em qualquer texto didático sobre essa Mecânica], é dada pela expressão:  , que nada mais é do que um caso particular da expressão obtida pela MQBB, quando se faz  . Note-se que, comparando-se os dois resultados, observa-se que o pacote de onda da PL, calculado pela MQOS, espraia mais lentamente do que quando calculado pela MQBB. Essa diferença talvez indique uma maneira experimental para comprovar a existência do potencial quântico de Bohm.Para o caso de uma partícula sob o potencial do OHDT, a evolução temporal de  , calculada pela MQBB, é dada por (vide Bassalo, Alencar, Cattani e Nassar, op. cit):,onde satisfaz a expressão: . |
as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.
tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.
paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.
a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.
that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.
and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.
but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.
as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.
paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.
um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.
ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.
e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.
mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.
como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.
a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.
that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.
and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.
but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.
as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.
paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.
um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.
ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.
e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.
mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.
como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.
= entropia reversível
= entropia reversível
postulado categorial e decadimensional Graceli.
TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.
TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.
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1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.
Sistema decadimensional Graceli.
1]Espaço cósmico.
2]Tempo cósmico e quântico.
3]Estruturas.
4]Energias.
5]Fenômenos.
6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico, e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.
7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.
8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.
9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.
10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.
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Matriz categorial de Graceli.
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Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.
[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].
trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.
EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]
p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.
h e = quantum index and speed of light.
[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..
EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.
[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]
, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].
EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]
p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.
h e = quantum index and speed of light.
[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..
EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.
[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]
, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].